Triángulo de Pascal para n=10 |
El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.
Construcción del triángulo de Pascal
Cada número del triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de el. |
se han dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre |
El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que , para la cifra 6 se cumple y para la última cifra 4 ; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.
Propiedades del triángulo de Pascal
Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas. Concretamente, el número en la línea n y la columna p corresponde a , o también denotado como ( por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:
- Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que
- Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que cuando p > n.
- Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales
potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1)n = 2n es
GENERALIZACIONES
ejemplo conbinacional de coeficiente trinomial. |
En vez de considerar las potencias de a + b, se puede considerar las del trinomio a + b + c. De esta manera, (a + b + c)n es una suma de monomios de la forma λp, q, r ·ap·bq·cr, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λp, q, r un número natural que se llama coeficiente trinomial.13
stos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal. De hecho, a la distribución de estos coeficientes al estilo piramidad se le conoce como pirámide de Pascal; es también infinita, con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.
En esta pirámide se observa una invariante por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice. El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.
De igual manera, todo esto se puede generalizar a dimensiones finitas cualquieras, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos sencillos.
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