LA PIRAMIDE DE PASCAL

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En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.¹ Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.²

Triángulo de Pascal para n=10

La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de Pascal). Si entonces para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.³
El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.

Construcción del triángulo de Pascal


Cada número del triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de el.


se han dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre

El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que $\scriptstyle {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$ para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que $\scriptstyle {4 \choose 1} = {3 \choose 0} + {3 \choose 1}$ , para la cifra 6 se cumple $\scriptstyle {4 \choose 2} = {3 \choose 1} + {3 \choose 2}$ y para la última cifra 4 $\scriptstyle {4 \choose 3} = {3 \choose 2} + {3 \choose 3}$ ; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.

Propiedades del triángulo de Pascal

Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas. Concretamente, el número en la línea n y la columna p corresponde a $n \choose p$ , o también denotado como $\bold C_n^p$ ( $\bold C$ por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:

Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que ${n\choose {n-p}} = {n\choose p}.$

Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que ${n\choose p} = 0$ cuando p > n.

Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales ${n\choose p} + {n\choose {p+1}} = {{n+1}\choose {p+1}}.$

Triángulo de Pascal con algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos lados (en amarillo, verde y rojo) tienen igual valor, debido a la propiedad de simetría $\scriptstyle {n\choose {n-p}} = {n\choose p}$ . Los casillas exteriores, (en azul) tienen valor nulo y las casillas en violeta proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.

Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es una potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ es

${n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n,$

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

GENERALIZACIONES

ejemplo conbinacional de coeficiente trinomial.

En vez de considerar las potencias de a + b, se puede considerar las del trinomio a + b + c. De esta manera, (a + b + c)ⁿ es una suma de monomios de la forma λ_{p, q, r} ·a^p·b^q·c^r, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λ_{p, q, r} un número natural que se llama coeficiente trinomial.13
stos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal. De hecho, a la distribución de estos coeficientes al estilo piramidad se le conoce como pirámide de Pascal; es también infinita, con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.
En esta pirámide se observa una invariante por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice. El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.
De igual manera, todo esto se puede generalizar a dimensiones finitas cualquieras, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos sencillos.
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domingo, 7 de octubre de 2012

Construcción del triángulo de Pascal

Propiedades del triángulo de Pascal